Trong dãy số $A$, ta định nghĩa $mex(A)$ là số nguyên dương nhỏ nhất không xuất hiện trong dãy $A$. VD: $mex(2,1,3,69,420)=4; mex(2,3,4,5)=1$

Bạn được cho một dãy số $a$ gồm $n$ phần tử có giá trị $1$ và $m$ phần tử có giá trị $2$. Bạn được phép thực hiện hành động sau: Chọn 1 dãy con của dãy $a$ bao gồm tối thiểu hai phần tử, sau đó xóa tất cả phần tử trong dãy con đó, cuối cùng thêm lại vào dãy $a$ giá trị $mex$ của dãy con đã xóa vừa rồi. Hành động này được thực hiện đến khi còn chính xác một phần tử. Dễ dàng nhận thấy sau một số lượng hành động nhất định dãy sẽ còn chính xác một phần tử. Nhiệm vụ của bạn là tìm ra giá trị tối đa của phần tử cuối cùng sau khi dãy còn đúng 1 phần tử.

1
1 1

3

huyhau6a2 có một bảng kích thước $n\times m$, các hàng được đánh số từ $1$ đến $n$ theo chiều từ trên xuống, các cột được đánh số từ $1$ đến $m$ theo chiều từ trái sang phải. Ô nằm giao giữa hàng $i\ (1\le i\le n)$ và cột $j\ (1\le j\le m)$ gọi là ô $(i,j)$. Ban đầu, toàn bộ bảng là màu trắng (màu $0$), huyhau6a2 thực hiện $q$ thao tác tô màu như sau:

• $1\ k\ v$: Tô đè tất cả các ô $(x,y)$ thỏa mãn $x$ & $y=k$ thành màu $v$ (& là ký hiệu của phép toán bit AND) ($0\le k\le 10^9,1\le v\le 10^9$)
• $2\ k\ v$: Tô đè tất cả các ô $(x,y)$ thỏa mãn $x$ | $y=k$ thành màu $v$ (| là ký hiệu của phép toán bit OR ($0\le k\le 10^9,1\le v\le 10^9$)
• $3\ k\ v$: Tô đè tất cả các ô $(x,y)$ thỏa mãn $x\oplus y=k$ thành màu $v$ ($\oplus$ là ký hiệu của phép toán bit XOR) ($0\le k\le 10^9,1\le v\le 10^9$)

Nhiệm vụ của bạn là xác định bảng mà huyhau6a2 nhận được sau khi thực hiện $q$ thao tác.

3 3 5
1 1 1
2 3 2
3 0 3
2 2 4
1 2 5

3 2 2
2 5 5
2 5 3

Mạng lưới giao thông của thành phố Đà Lạt bao gồm $n$ địa điểm và $m$ con đường một chiều, mỗi con đường nối hai địa điểm với nhau.

Để cải thiện khả năng thu hút khách của thành phố, chính quyền quyết định chia $m$ con đường thành hai nhóm, sao cho với mỗi nhóm đều thỏa mãn tính chất: nếu từ địa điểm $i$ có thể đi đến địa điểm $j$ bằng các con đường trong một nhóm, thì sẽ không thể quay lại địa điểm $i$ từ địa điểm $j$ bằng các con đường trong cùng nhóm đó. Điều này sẽ buộc các du khách đi thăm mỗi địa điểm không quá một lần.

Bạn hãy chỉ ra một cách chia $m$ con đường bất kỳ thỏa mãn điều kiện nêu trên.

2

3 3
1 2
3 1
2 3

3 3
1 2
1 3
2 3

221
111

"Trong một thế giới ảo tưởng của mondellbit009"

mondellbit009 sau khi bị mẹ ép đi PQ chơi, mẹ cho mondellbit009 $n$ đồng để đi du lịch. Khi chuẩn bị đi du lịch thì mondellbit009 có thể đặt vé theo 4 cách như sau:

• Sử dụng $A$ đồng cho vé đi tàu 1 lần
• Sử dụng $B$ đồng cho vé đi tàu 1 tuần
• Sử dụng $C$ đồng cho vé đi taxi 1 lần
• Sử dụng $D$ đồng cho vé đi taxi 1 tuần

mondellbit009 đang phân vân không biết nên mua 1 vé tàu và 1 vé taxi như thế nào để vừa với túi tiền của mình. Các bạn hãy giúp mondellbit009 nhé!

3
4 2 2 2 2
2 2 2 2 2
4 1 2 2 1

4
-1
2

(Bài toán này yêu cầu bạn phải hiểu về luật chơi, các thuật ngữ cơ bản và cách đánh dấu các ô của bộ môn cờ vua)

(Nếu bạn muốn kiểm tra code của mình với bộ test khác hơn test ví dụ, bạn có thể sử dụng bảng phân tích của https://www.chess.com/analysis?tab=analysis để có được kết quả chính xác (độ sâu khoảng 40 sẽ cho kết quả đúng))

Bạn được cho một thế cờ có hai quân Vua của hai bên và một quân Xe. Với mỗi trường hợp Trắng đi trước hoặc Đen đi trước, bạn cần xác định xem:

1. Thế cờ được cho có hợp lệ hay không trong trường hợp đó.
2. Kết quả của ván cờ như thế nào trong trường hợp đó nếu cả hai bên cùng chơi tối ưu.
3. Nếu có một bên chiến thắng, hãy cho biết bên đó thắng trong bao nhiêu nước.

3

K.......
........
k.......
........
........
........
........
.r......

........
......K.
........
...k..R.
........
........
........
........

.K....r.
........
.k......
........
........
........
........
........

Valid Draw -1
Valid Black 3
Invalid -1 -1
Valid White 15
Valid Black 0
Invalid -1 -1

huyhau6a2 rất thích số $6$, vì đơn giản là trong tên của cậu ta có chứa số $6$ :)

Một số được cho là số yêu thích đối với huyhau6a2 nếu trong số đó có đúng một chữ số $6$

Nhiệm vụ của bạn là kiểm tra xem 1 số có phải là số mà huyhau6a2 yêu thích không

3
69
420
1662023

Yes
No
No

Bạn được cho dãy số $a$ gồm $n$ phần tử. Nhiệm vụ của bạn là tìm ra giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của $a_i-a_j$ ($1\le i,j\le n$).

2
3
3

0
0

Bạn được cho một dãy số nguyên. Nhiệm vụ của bạn là tính tổng XOR của dãy.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11

Để chuẩn bị quà cho ngày 1/6, thầy Quang đã chuẩn bị rất nhiều kẹo.

Vào 8h tối, các em học sinh đã có mặt đầy đủ tại trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn, thầy bắt đầu phát kẹo, với số kẹo mà người thứ $i$ được chia là một số nguyên dương $a_i$.

Tuy vậy, trong lúc chuẩn bị chia, có 1 em học sinh là moi_hoc_code do vô ý đã làm nhòe đi một số giá trị $a_i$. Thầy Quang không nhớ chính xác các giá trị $a_i$, chỉ nhớ dãy $a$ mình đã ghi là 1 dãy đối xứng.

Dãy số $a$ độ dài $n$ được coi là đối xứng khi với mọi giá trị $i$ ($1\le i\le n$), $a_i=a_{n-i+1}$

Nhiệm vụ của bạn là điền lại các giá trị $a_i$ sao cho thỏa mãn điều kiện thầy Quang đưa ra, và xuất ra số lượng kẹo tối thiểu thầy có thể chia, hoặc cho rằng điều đó là không thể

5
-1
2
3
-1
-1

9

Cho một bánh có kích thước $N\times M$ ô vuông. Trên bánh có $4\times K$ quả dâu. Bạn được biết vị trí của các quả dâu. Được phép cắt $2$ nhát, $1$ nhát ngang, $1$ nhát dọc sao cho chia bánh thành $4$ phần. Mà $4$ phần này phải có số lượng dâu bằng nhau. Có bao nhiêu cách cắt như thế?

3 4 1
2 2
1 4
3 2
3 4

2

0001
0100
0101

Cho mảng $A$ gồm $N$ phần tử. Mảng 2 chiều $S$ có kích thước $N\cdot N$ với $S_{i,j}=A_i\cdot A_j$. Đếm số lượng hình chữ nhật trên $S$ có tổng các phần tử bằng $K$

5
2 4 1 5 3
30

12

Cho mảng $A$ gồm $N$ phần tử, mảng $B$ gồm $M$ phần tử ($1\leq N,M\leq 10^5$). Hãy tạo ra một dãy số không giảm: $A_1\leq A_2\leq \dots\leq A_i\leq B_j\leq B_{j+1} \dots\leq B_M$.

Lưu ý: Dãy bạn tạo là dãy gồm $i$ phần tử đầu tiên của mảng $A$ ($1\leq i\leq n$) và $j$ phần tử cuối của mảng $B$ ($1\leq j\leq M$).

3
1 4 9
4
5 2 4 5

4

Rô bốt thám hiểm sao Hỏa đang ở điểm có tọa độ $(0,0)$ nhận được dòng lệnh điều khiển từ Trái Đất. Dòng lệnh chỉ chứa các ký tự thuộc tập ký tự {$E,S,W,N$}, mỗi ký tự là một lệnh di chuyển với quãng đường bằng 1 đơn vị độ dài. Lệnh $E$ di chuyển về hướng Đông, tức là nếu rô bốt đang ở tọa độ $(x,y)$ thì sau khi thực hiện lệnh $E$ rô bốt sẽ ở tọa độ $(x+1,y)$. Lệnh $S$ di chuyển về hướng Nam, tức là nếu rô bốt đang ở tọa độ $(x,y)$ thì sau khi thực hiện lệnh $S$ rô bốt sẽ ở tọa độ $(x,y-1)$. Lệnh $W$ di chuyển về hướng Tây, tức là nếu rô bốt đang ở tọa độ $(x,y)$ thì sau khi thực hiện lệnh $W$ rô bốt sẽ ở tọa độ $(x-1,y)$. Lệnh $N$ di chuyển về hướng Bắc, tức là nếu rô bốt đang ở tọa độ $(x,y)$ thì sau khi thực hiện lệnh $N$ rô bốt sẽ ở tọa độ $(x,y+1)$.

Hãy các định tọa độ của rô bốt sau khi thực hiện lệnh di chuyển nhận được

Hình vẽ bên minh họa việc di chuyển của rô bốt với dòng lệnh $ENENWWWS$. Sau khi thực hiện, rô bốt sẽ tới tọa độ $(-1,1)$

ENENWWWS

-1 1

An và Chi đang chơi một trò chơi đoán số như sau:

An nghĩ ra 4 số nguyên dương: số đầu tiên anh ta chọn là 1 số nguyên dương bất kỳ, mỗi số tiếp theo bằng số trước đó cộng với cùng một hằng số dương nào đó. Sau đó An đưa cho Chi một mảnh giấy mà anh ta đã viết 3 số được chọn ngẫu nhiên trong 4 số. Chi sẽ thắng nếu đoán đúng số còn thiếu. Bạn hãy giúp Chi tìm các số có thể là số còn thiếu

Một số có thể là số còn thiếu nếu nó là số nguyên dương và nó cùng với 3 số ghi trên mảnh giấy có thể sắp xếp theo một thứ tự nào đó sao cho mỗi số kể từ thứ hai trở đi, bằng số liền kề trước đó cộng với cùng một hằng số dương nào đó

4 6 8

2 10

10 1 4

7

Để chuẩn bị cho cuộc thi quan trọng nhất năm, An đã học cách tìm số ước của một số và nhanh chóng hiểu được các thuật toán khác nhau. Sau đó, trong quá trình tự luyện tập, An quyết định tìm hiểu mối quan hệ giữa một số và số ước của nó.

Cho 2 số nguyên dương $n$ và $k$, hãy tính số cặp số nguyên $(x,y)$ với $1\le x\le y\le n$ và thỏa mãn đẳng thức:

Trong đó $d(x),d(y)$ lần lượt là số ước nguyên dương của $x$ và $y$

Bạn hãy giúp An tính số cặp $(x,y)$ như vậy

8 3

2

25 9

6

Bạn được cho một hoán vị $a$ độ dài $n$. Một cặp số $(l,r)$ được gọi là cặp số đầy đủ nếu với mọi $l\le i\le r$ thì $l\le a_i\le r$.

Bạn được cho $q$ truy vấn, mỗi truy vấn gồm 2 số $l,r$. Nhiệm vụ của bạn là với mỗi truy vấn, hãy đếm số lượng cặp số $(u,v)\ (l\le u\le v\le r)$ thỏa mãn $(u,v)$ là cặp số đầy đủ

4 4
1 2 4 3
1 4
1 2
2 4
3 4

6
3
3
1

Số đẹp là số có tổng bình phương các chữ số của nó (trong dạng biểu diễn thập phân) là một số nguyên tố. Ví dụ: $23$ là một số đẹp vì $2^2+3^2=13$ là một số nguyên tố.

Dãy các số đẹp lần lượt là: $11,12,14,16,21,23,25,27,32,38,\dots$. Các số đẹp được đánh số thứ tự tăng dần theo giá trị bắt đầu số thứ nhất là $11$, số thứ hai là $12$, ..., số thứ mười là $38$

Yêu cầu: Cho số nguyên dương $N$. Hãy tìm số đẹp thứ $N$

10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

11
12
14
16
21
23
25
27
32
38

Một bài toán đến từ Bình Dương

huyhau6a2 đang chơi lật giấy. Giả sử tờ giấy là ma trận $2^x\cdot 2^y$, giá trị ở ô $(i,j)$ là $a_{i,j}$. huyhau6a2 có thể thực hiện lật giấy theo một trong 4 cách: Lật trái, phải, trên, dưới. Cụ thể có thể liệt kê như sau:

• Lật dọc: Ma trận $2^x\cdot 2^y$ đổi thành ma trận $2^x\cdot 2^{y-1}$ ($y>0$). Có thể xem ví dụ như trên:
  

  1 2|3 4
  5 6|7 8
  

  
  Việc lật này lại chia làm lật trái hoặc lật phải:
  • Lật trái: Với mọi giá trị $i,j$ ($1\le i\le 2^x,1\le j\le 2^{y-1}$), cập nhật $a_{i,2^y-j+1}=a_{i,2^y-j+1}-a_{i,j}$. Sau đó, bỏ phần ma trận trái
  • Lật phải: Với mọi giá trị $i,j$ ($1\le i\le 2^x,1\le j\le 2^{y-1}$), cập nhật $a_{i,j}=a_{i,j}-a_{i,2^y-j+1}$. Sau đó, bỏ phần ma trận phải

  Sau khi bỏ ma trận, $y$ sẽ bị trừ đi $1$

  Hãy xét ví dụ như trong hình trên, việc lật trái làm thay đổi ma trận thành:
  

  0 0|3-2 4-1    =>    0 0|1 3    =>    1 3
  0 0|7-6 8-5    =>    0 0|1 3    =>    1 3
  

• Lật ngang: Ma trận $2^x\cdot 2^y$ đổi thành ma trận $2^{x-1}\cdot 2^y$ ($x>0$). Có thể xem ví dụ như trên:
  

  1 2 3 4
  _______
  5 6 7 8
  

  
  Việc lật này lại chia làm lật trên hoặc lật dưới:
  • Lật trên: Với mọi giá trị $i,j$ ($1\le i\le 2^{x-1},1\le j\le 2^y$), cập nhật $a_{2^x-i+1,j}=a_{2^x-i+1,j}-a_{i,j}$. Sau đó, bỏ phần ma trận trên
  • Lật dưới: Với mọi giá trị $i,j$ ($1\le i\le 2^{x-1},1\le j\le 2^y$), cập nhật $a_{i,j}=a_{i,j}-a_{2^x-i+1,j}$. Sau đó, bỏ phần ma trận dưới

  Sau khi bỏ ma trận, $x$ sẽ bị trừ đi $1$

  Hãy xét ví dụ như trong hình trên, việc lật trên làm thay đổi ma trận thành:
  

  0   0   0   0      =>    0 0 0 0    
  _______________          _______      =>    4 4 4 4
  5-1 6-2 7-3 8-4    =>    4 4 4 4    
  

Việc lật này diễn ra đến khi ra ma trận $1\cdot 1$ (tức $x=y=0$) thì thôi. Gọi kết quả đó là $v$

Gọi $f(M,x,y)$ (với $x,y$ là kích thước, $M$ là ma trận cho trước kích thước $2^x\cdot 2^y$) là tổng tất cả các giá trị $v$ trong tất cả khả năng lật.

huyhau6a2 thấy lật giấy có một tờ thì chán quá nên sẽ chuẩn bị rất nhiều tờ giấy để lật. huyhau6a2 sẽ chuẩn bị ba giá trị $n,m,k$. Các tờ giấy sẽ là tất cả ma trận $M$ kích thước $2^n\cdot 2^m$, với các giá trị nằm trong đoạn $[1,k]$. Tổng cộng có $k^{2^{n+m}}$ bảng khác nhau. Nhiệm vụ của bạn là tính tổng tất cả $f(M,n,m)$ có thể tạo được.

0 0 3

6

Với một dãy số $a_1,a_2,\dots,a_n$, một cặp số $(i,j)$ được gọi là cặp nghịch thế khi và chỉ khi $1\le i<j\le n$ và $a_i>a_j$

Bạn được cho một dãy số $a$ và $q$ truy vấn, mỗi truy vấn gồm hai số nguyên dương $u,v$, và bạn cần phải tính toán số cặp nghịch thế của dãy $a$ nếu đổi giá trị của $a_u$ và $a_v$

4 3
2 3 1 4
2 4
1 3
1 4

3
1
5

Cho hai số nguyên dương $n, m$. Tính tổng các giá trị $gcd(i, j)$ với mọi $1 \le i \le n$ và $1 \le j \le m$.

3 4

16