Các số nguyên dương từ $1$ đến $n$ được ghi trên một đường tròn theo chiều kim đồn gồ. Các cung bằng nhau được chia bởi các số liên tiếp từ số đầu tiên đến số cuối cùng. Bắt đầu từ vị trí số $1$, di chuyển trên đường tròn theo chiều kim đồng hồ qua $d$ cung và dừng lại tại vị trí đã ghi số. Vị trí bắt đầu cũng được xem là một vị trí đứng. Mỗi lần di chuyển như vậy ta gọi là 1 bước nhảy. Chúng ta thực hiện $k$ bước nhảy, bước nhảy tiếp theo bắt đầu từ vị trí dừng của lượt nhảy trước đó.

Yêu cầu: Hãy tính tổng các số tại mỗi vị trí đứng trong quá trình thực hiện $k$ bước nhảy

5 3 4

15

Hai số nguyên dương $n$ và $m$ được gọi là hai số không tương đồng khi chúng khác nhau và không tồn tại hai số nguyên dương $p,q$ ($p\ne 1,q\ne 1,p\ne q$) sao cho cả $p$ và $q$ đều là ước của cả $n$ và $m$. Ví dụ: $6$ và $8$ là hai số không tương đồng bởi chúng chỉ có 2 số $1,2$ là ước của cả hai số ($6$ và $8$), nhưng chỉ có 1 số khác $1$; $12$ và $18$ không phải là hai số không tương đồng vì có đến ba số khác $1$ là $2,3,6$ đều là ước của cả hai số

Yêu cầu: Cho số $n$ và 2 số nguyên dương $l,r$. Hãy tìm tất cả các số $m$ với $l\le m\le r$ sao cho $n$ với $m$ là hai số không tương đồng

6
8 12

4
8 9 10 11

Cho dãy số gồm $n$ số nguyên $a_1,a_2,\dots,a_n$. Xuất phát từ dãy ban đầu và thực hiện $q$ lần thuộc một trong hai loại phép toán sau trên các dãy thu được:

1. Thay phần tử thứ $i$ của dãy bằng $x$
2. Dịch dãy sang phải $k$ vị trí, nếu dãy hiện tại là $a_1,a_2,\dots,a_n$ thì sau khi dịch sẽ là dãy $a_{n-k+1},a_{n-k+2},\dots,a_n,a_1,a_2,\dots,a_{n-k}$

Yêu cầu: Sau mỗi lần thực hiện phép toán loại 1, hãy tính tổng giá trị các phần tử của dãy thu được

4
4 1 2 5
4
2 2
1 2 7
2 1
1 3 -4

14
3

Bạn được cho 3 số $n,x,y$. Nhiệm vụ của bạn là tìm cặp số nguyên $a,b$ thỏa mãn các điều kiện sau theo thứ tự ưu tiên từ trên xuống dưới:

• $a+b=n$ ($a\ge 0,b\ge 0$)
• $x^a\cdot y^b$ lớn nhất có thể
• $a$ nhỏ nhất có thể

2
4 2 2
7 6 5

0 4
7 0

Bài toán không mang tính chất cà khịa hay công kích bất cứ cá nhân hay tổ chức nào. Chúng tôi thành thật xin lỗi những cá nhân / tập thể cảm thấy bị xúc phạm vì đề bài này

Hoa ngũ vị (tên khoa học Ageratum conyzoides) là một loài cây thuộc họ Cúc. Với mùi hương tinh tuý, đây là loại hoa được nhiều người yêu thích để trang trí trong nhà

Như thường ngày, anh T và đàn chó Shiba của anh ấy đi dạo buổi sáng. Ở ngoài vườn có $n$ cây hoa ngũ vị. Cây thứ $i$ có cường độ mùi hương là $i$. Có $m$ con chó Shiba, gu của con thứ $i$ có “độ mặn” là $a_i$, đồng nghĩa với việc chúng chỉ ngửi những cây hoa ngũ vị có cường độ mùi hương là $a_i$ trở lên.

Những con chó Shiba đều khá tham lam, chúng rất ghét tranh giành nhau chỗ đứng để ngửi hoa, nên mỗi cây hoa chỉ có thể có tối đa 1 con chó Shiba ngửi. Và do chúng cũng rất thích tận hưởng, mỗi con chó Shiba chỉ ngửi 1 cây hoa duy nhất. Do không muốn đàn chó của mình tranh cãi với nhau, anh T rất muốn phân chia sao cho mỗi con chó ngửi 1 cây hoa ngũ vị, và mỗi cây hoa ngũ vị có tối đa 1 con chó ngửi.

Hãy giúp anh T đếm số cách để chia nhé. Vì kết quả có thể rất lớn, ta chỉ cần xuất ra số dư khi chia kết quả cho $998244353$

4 3
1 1 1

24

Trọng số của một dãy số nguyên là tổng của dãy nhân với số phần tử của dãy. Ví dụ trọng số của dãy $(4,-2,3,1)$ là $6\cdot 4=24$

Cho dãy số nguyên $a=a_1,a_2,\dots,a_n$. Hãy tách $a$ thành các dãy con (không nhất thiết kề nhau) sao cho tổng trọng số của các dãy con là lớn nhất có thể

6
3 -1 -5 3 -2 6

40

Trọng số của bộ 3 có thứ tự $(x,y,z)$ bằng $(x+y)\cdot (y+z)$ nếu $max(x,z)\le y$ hoặc bằng $0$ nếu $max(x,z)>y$

Cho ba dãy số nguyên dương $a=a_1,a_2,\dots,a_n$, $b=b_1,b_2,\dots,b_m$, $c=c_1,c_2,\dots,c_q$. Hãy tính tổng trọng số của tất cả bộ 3 $(a_i,b_j,c_k)$ với $1\le i\le n,1\le j\le m,1\le k\le q$

4 3 5
1 4 2 3
4 6 1
6 3 2 4 2

2300

Khu vườn của T có $n$ tảng đá xếp thành một hàng dọc. Một hôm, T nhìn ra vườn và nhận thấy rằng trên một số tảng đá đã mọc ra những bông hoa. Cảm thấy không thoải mái với điều này, T quyết định chọn một nhóm dài nhất các tảng đá nằm kề nhau, và ra vườn nhổ hết các bông hoa trên những tảng đá. T là một người rất lười biếng, nên anh ta muốn công việc của mình phải thật hiệu quả: trong số các tảng đá được chọn, số tảng đá có hoa phải chiếm một tỉ lệ ít nhất là $\frac{u}{v}$. Đồng thời, T cũng muốn dọn dẹp càng nhiều tảng đá càng tốt (chuỗi các tảng đá được chọn phải càng dài càng tốt). Các bạn hãy cho biết chuỗi các tảng đá dài nhất mà T có thể chọn bao gồm bao nhiêu tảng đá.

11 12 20
...##.##...

6

11 16 20
...##.##...

5

11 1 1
...#####...

5

Bạn được cho một ma trận $m \times n$ ($m$ hàng $n$ cột) gồm các số $0$ và $1$. Bạn cần đếm số hình vuông có các đỉnh là các ô của ma trận, các cạnh là các hàng và cột của ma trận sao cho giá trị ở cả bốn đỉnh của hình vuông đều là $1$ (hay nói cách khác, bạn cần đếm số bộ $(i, j, k)$ $(1 \le i \le m, 1 \le j \le n, 0 \le k \le \min(m, n))$ sao cho giá trị các ô $(i, j), (i + k, j), (i, j + k), (i + k, j + k)$ đều là $1$)

3 3
101
111
110

8

huyhau6a2 có một chiếc bánh hình tròn. Cậu thực hiện $k$ lần cắt, tất cả các đường cắt đều không trùng nhau và đi qua tâm của chiếc bánh. Hỏi sau khi cắt chiếc bánh được chia thành bao nhiêu phần.

2
1 2

2 4

Một ma trận $m \times n$, gồm $m$ hàng đánh số từ $1$ đến $m$ và $n$ cột đánh số từ $1$ đến $n$, với phần tử ở hàng $i$ cột $j$ là $a[i][j]$ có thể có một số tính chất sau (có thể không có, có một hoặc có nhiều tính chất cùng một lúc):

• Tính chất đối xứng qua trục dọc: $a[i][j] = a[i][n + 1 - j]$ với mọi cặp số nguyên $(i, j)$.
• Tính chất đối xứng qua trục ngang: $a[i][j] = a[m + 1 - i][j]$ với mọi cặp số nguyên $(i, j)$.
• Tính chất đối xứng qua tâm: $a[i][j] = a[m + 1 - i][n + 1 - j]$ với mọi cặp số nguyên $(i, j)$.

Ví dụ:

• Ma trận dưới đây là ma trận đối xứng qua trục dọc:
  

  1221
  3443
  5445
  

• Ma trận dưới đây là ma trận đối xứng qua trục ngang:
  

  1234
  5678
  1234
  

• Ma trận dưới đây là ma trận đối xứng qua tâm:
  

  1234
  5665
  4321
  

Xét tất cả các ma trận $a$ có thể gồm các số nguyên không âm, với $a[i][j] \le b[i][j]$ cho trước, bạn cần tính số ma trận thỏa mãn một số tính chất trong các tính chất trên.

3 4
001
1010
0101
1010

1

Bạn được cho 2 số $n$ và $k$. Nhiệm vụ của bạn là tìm 1 dãy số $a$ nguyên dương độ dài $x$ bất kỳ thỏa mãn:

• Các phần tử trong dãy $a$ đôi một phân biệt
• $a_1+a_2+\dots+a_x=n$
• $a_1\oplus a_2\oplus \dots\oplus a_x=k$

5
1 1
3 2
12 0
36 18
49 25

1
1
IMPOSSIBLE
3
2 4 6
4
4 5 7 20
4
8 20 9 12

Bạn được cho 2 số $n$ và $k$. Nhiệm vụ của bạn là kiểm tra xem có dãy số $a$ nguyên dương độ dài $x$ bất kỳ thỏa mãn:

• Các phần tử trong dãy $a$ đôi một phân biệt
• $a_1+a_2+\dots+a_x=n$
• $a_1\oplus a_2\oplus \dots\oplus a_x=k$

5
1 1
3 2
12 0
36 18
49 25

POSSIBLE
IMPOSSIBLE
POSSIBLE
POSSIBLE
POSSIBLE

Bạn được cho 2 số $n$ và $k$. Nhiệm vụ của bạn là tìm 1 dãy số $a$ nguyên dương độ dài $x$ bất kỳ thỏa mãn:

• $a_1+a_2+\dots+a_x=n$
• $a_1\oplus a_2\oplus \dots\oplus a_x=k$

5
1 1
3 2
12 0
36 18
49 25

1
1
IMPOSSIBLE
2
6 6
4
9 16 9 2
4
8 20 9 12

Mặt bàn làm việc của Bờm có thể coi như mặt phẳng với hệ tọa độ $Descartes Oxy$, trên bàn có đặt $n$ tờ giấy, mỗi tờ giấy là một hình chữ nhật có cạnh song song với một trong hai cạnh bàn, vị trí của hình chữ nhật này được xác định bởi tọa độ góc trái dưới $(x_1,y_1)$ và tọa độ góc phải trên $(x_2,y_2)$.

Vì các tờ giấy hay bị xê dịch khi có gió hoặc những tác động không mong muốn, Bờm muốn ghim chúng xuống mặt bàn bằng các đinh ghim. Hai tờ giấy có thể ghim bằng một đinh ghim nếu hai hình chữ nhật tương ứng với chúng có điểm trong chung.

Bạn hãy đếm số cặp đôi những tờ giấy mà hai tờ giấy trong cặp có thể ghim bằng một đinh ghim.

5
-4 0 0 3
3 2 4 4
-3 -2 1 2
-1 -3 2 1
-5 -4 -2 -2 

3

Bình và An là đôi bạn thân. Hàng ngày, hai bạn cùng nhau đi bộ tới trường. Trên con đường mà hai bạn đi có một hàng cây gồm $n$ cây, các cây được đánh thứ tự từ $1$ đến $n$. Bình và An rất yêu thích hàng cây này, hai bạn đã tìm hiểu và biết được độ cao của từng cây, cây thứ $i$ có độ cao là $h_i$. Thật đặc biệt, các cây có độ cao đôi một khác nhau. Một hôm, An đố Bình bài toán sau: Tìm hai số $i,j$ là chỉ số của hai cây thỏa mãn điều kiện: $1\le i<j\le n$ và $h_i<h_j$ để giá trị $(j-i)$ đạt giá trị lớn nhất. Bình đề nghị: “Chúng ta hãy cùng lập trình giải quyết bài toán này.”

Yêu cầu: Cho $n$ số nguyên dương đôi một khác nhau $h_1,h_2\dots,h_n$ là độ cao của $n$ cây, hãy tìm hai số $i,j$ là chỉ số của hai cây mà $1\le i<j\le n$ và $h_i<h_j$ để giá trị $(j-i)$ đạt giá trị lớn nhất

4
4 2 1 3

2

3
4 2 1 

-1

Cho một dãy gồm $n$ số nguyên $a_1,a_2,\dots,a_n$. Ta định nghĩa: đoạn con của dãy $A$ là một dãy các phần tử liên tiếp nhau thuộc $A$. Hoặc có thể viết $(a_i,a_{i+1},\dots,a_j)$ là một đoạn con của $A$ với $i\le j$. Độ dài của đoạn con được tính là số phần tử của đoạn con đó, ví dụ, đoạn con trên có độ dài là $j-i+1$.

Yêu cầu: Tìm một đoạn con có độ dài ngắn nhất chứa cả số lớn nhất và số nhỏ nhất của dãy A.

8
1 3 6 2 8 1 3 8 

2

Cho một hình vuông $B$ kích thước $n\cdot n$ được chia thành các ô vuông đơn vị. Trên mỗi ô người ta ghi một số từ $0$ đến $9$. Hãy tìm một hình vuông thuộc thỏa mãn các điều kiện sau:

• Các cạnh song song với cạnh của hình vuông ban đầu.
• Chỉ chứa một loại số duy nhất trong $10$ chữ số trên.
• Diện tích của hình vuông là lớn nhất có thể.

8
1 3 6 2 8 1 3 8 
1 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 3 7 8
3 2 2 2 2 1 2 3
4 5 6 7 8 2 2 2
2 4 2 1 4 2 2 2
1 2 3 4 5 6 7 8
6 5 4 3 6 5 4 1 

9

Một công ty muốn đầu tư $M$ tỷ đồng vào $n$ lĩnh vực kinh doanh khác nhau. Biết rằng sau một năm nếu đầu tư $i$ tỷ đồng vào lĩnh vực $j$ thì được lãi là $A[i][j]$ triệu đồng. Tính phương án đầu tư có lợi nhất cho Công ty (thu được nhiều lãi nhất sau 1 năm tính theo triệu đồng).

4 2
6 36
74 2
5 3
100 2 

110